Ayer tuve que transferir Prestashop (ver. 1.4.3) entre dos dominios, y la verdad es que muuyyy sencillo. Lo que ha mí me funcionado es:

  1. Copia de seguridad de la base de datos en el dominio actual.
  2. Copia completa de todos los ficheros y carpetas del dominio actual.
  3. Crear la base de datos en el segundo dominio, y a continuación restaurar la copia de seguridad.
  4. Modificar el fichero settings.inc.php dentro de la carpeta config, para indicar el nombre, usuario y contraseña de la nueva de la nueva base de datos en el segundo dominio.
  5. Subir todos los ficheros y carpetas al segundo dominio.

Y listo.